Présentation du laboratoire TPFA:

 

Description succincte :

   Les équations différentielles ordinaires (EDO) continuent à se développer dans plusieurs directions et les recherches dans ce domaine sont abondantes. Ils ont connu un regain d’intérêt particulier ces dernières années aussi bien sur le plan du développement théorique que des applications. Ceci est principalement dû aux domaines d’application diverses dans lesquels interviennent les EDO (hydraulique, électricité, chimie,…). Ce laboratoire s’intéresse à la théorie du point fixe et à ses applications à diverses classes de problèmes aux limites associés à des équations (ou inclusions) différentielles ordinaires (ou fractionnaires) ou à des équations intégrales de type Volterra ou Hammerstein ; l’aspect théorique est considéré dans le cadre général des espaces métriques mais aussi de façon plus précise dans les espaces et algèbres de Banach. Quant aux problèmes d’application, ils sont posés sur les domaines bornés ou non bornés de la droite réelle et sont souvent issus de la physique ou de la biologie car peuvent avoir pour origine des systèmes de réaction-diffusion. Ce laboratoire, crée en 2011, vient de lancer sur ces thèmes cinq équipes de recherche composées de professeurs, de maîtres de conférences (A et/ou B) et de jeunes doctorants et magistérants afin de contribuer à l’investigation aussi bien du cadre abstrait que des applications de la théorie du point fixe dans les espaces (et algèbres) de Banach ou de Fréchet en particulier et dans les espaces métriques en général.

 

 Objectifs de recherche scientifique et de développement technologique :

  

   La théorie du point fixe dans les espaces de Banach ou de Fréchet apparait soit sous forme de théorèmes de points fixes très récents ou dans le développement de certaines méthodes topologiques liées au degré topologique, à l’indice sur les cônes des espaces de Banach,…). Dans ce laboratoire , on se propose de travailler principalement dans deux directions différentes :

 

  1) Essayer de contribuer à l’élaboration de nouveaux résultats de type théorèmes de point fixe faisant appel à quelques outils d’analyse fonctionnelle, les difficultés ayant trait au type de fonctions considérées (nonexpansive, condensante,…), au type du domaine d’étude  (convexe, étoilé, …), à la géométrie de l’espace des solutions (réflexif, uniformément convexe, …), à la topologie (forte ou faible) de l’espace fonctionnel de travail, et aussi à l’amélioration des hypothèses considérées. Cette direction de recherche engendre une étude qualitative plus globale telle que la structure topologique et géométrique de l’ensemble des solutions du problème en question (surtout pour le cas des inclusions différentielles) et/ou le comportement asymptotique des solutions pour des temps assez grands.

 

  2) Prendre en compte des théorèmes du point fixe récents et mettre en œuvre des techniques et méthodes diverses (topologiques, basées sur les constructions de sous et sur-solutions, variationnelles,…) et ceci afin d’aborder des questions d’existence, de multiplicité, de positivité, d’estimations à priori de solutions pour des problèmes aux limites réguliers ou même singuliers, à plusieurs points, à conditions aux bords non linéaires ou avec manque de compacité,…

En effet, les questions qui sont naturellement posées sont liées essentiellement à l’existence de solutions ayant une certaine régularité mathématique et un certain sens physique tel la positivité et le bornage (estimations à priori). De plus, la non linéarité, qui obéit souvent à des considérations d’ordre physique, peut avoir une croissance d’ordre polynomial (sous ou sur linéaire) ou un comportement limite de type convexe ou non convexe, voire même avec changement de convexité.

Ces différentes situations conduisent à des problèmes mathématiques riches, intéressants, délicats et qui souvent interviennent dans des problèmes modèles concrets. En effet, lorsque le terme source est de plus singulier, certains modèles singuliers sont issus de l’électricité (équation de Thomas-Fermi) de la  théorie de la combustion ou de l’épidémiologie (équation de Fisher généralisée). Les questions liées à l’existence et à l’étude de phénomènes de bifurcation peuvent également apparaitre pour certains problèmes. Parmi les généralisations visées dans ces types de problèmes, on peut citer celles qui portent essentiellement sur l’opérateur différentiel du second ordre (ou d’ordre supérieur) qui peut être fonctionnel ou non linéaire, de type p-Laplacien ou même phi-Laplacian, les conditions aux bords ou aux limites qui peuvent être non linéaires, ou encore sur la partie non linéaire de l’équation différentielle envisagée. Enfin, notons de façon plus générale que des extensions à l’étude de ces problèmes dans un cadre abstrait d’espaces de Banach, de Fréchet ou d’algèbres de Banach sont également proposées au sein des équipes de recherche de ce laboratoire.

  

 

  • Dernière modification : 16 Sep 2018 .